OpenAI 声称解决纳维-斯托克斯千禧年奖问题

2026年9月8日

关于纳维-斯托克斯千禧年奖问题

我们分享一个关于纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题的解答，这是千禧年奖问题之一。这个证明由 OpenAI 内部系统完成，表明描述流体运动的纳维-斯托克斯方程可以在有限时间内发展出奇点。我们同时分享证明的书面说明和 Lean 形式化验证。

千禧年奖问题⁠(在新窗口中打开) 代表了数学前沿一些最深奥的问题。光滑的三维流体运动是否会崩溃，这个问题已经悬而未决大约 90 年了。

我们工作的一个主要目标是赋能科学家，推动有益于全人类的研究和技术进步。为了解决纳维-斯托克斯问题，我们使用了一个内部模型，其能力显著超过 GPT‑6 Astra。我们认为，让世界了解 AI 进步的节奏以及未来模型的表现，这一点非常重要。

问题是什么

纳维-斯托克斯方程利用牛顿第二运动定律（“F=ma”）来描述流体的运动方式。重要的是，它把流体当作连续介质来处理，而不是追踪单个分子。这些方程被用于飞机设计、天气预报和血流研究。

这些动力学方程的一个基本开放问题是：流体的连续介质近似是否会崩溃。具体来说，三维不可压缩、密度恒定的流体的纳维-斯托克斯方程，即使运动从光滑状态开始，是否也会发展出“奇点”？这里的奇点指的是动力学导致流体速度在有限时间内无界增长。奇点的出现必须在存在粘性（粘性通常会平滑运动）的情况下发生。因为真实流体不可能以无限速度运动，所以这将标志着方程对流体建模的失效。要继续建模这个系统，就需要逐个追踪每个粒子的行为。

这些方程可以追溯到 19 世纪 Claude-Louis Navier 和 George Gabriel Stokes 的工作。1934 年，Jean Leray 证明了在广义意义上解是存在的，但它们是否始终保持光滑成为了一个核心的未解问题。2000 年，克莱数学研究所将纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题列为七个千禧年奖问题之一。

结果是什么

我们的系统产出了一个解析证明和 Lean 形式化验证，表明一个初始光滑的静止流体可以在有限时间内发展出奇点。该流体受到一个光滑的外力作用，其能量在整个动力学过程中（从静止到奇点形成）始终保持有限。这通过确立官方千禧年问题表述⁠(在新窗口中打开)中的陈述“C”（以及“D”），解决了纳维-斯托克斯千禧年奖问题。

这个解是一个涡旋，即流体的旋转涡流，它向内螺旋并变得越来越拉长，像意大利面一样。这个中心区域在加速的同时收缩，其能量仍然保持有限，符合物理定律的要求。技术难点在于，方程要通过流体自身的运动来发展出崩溃，而不是例如我们手动加入一个无限大的力。更数学化地说，纳维-斯托克斯方程中描述运动的各项——加速度、压力梯度、动量传递、粘性——必须同时变得很大，但又以精确的方式相互抵消。这种精细的平衡使得即使流体速度无界增长，外部力仍然是光滑的。

局部不可压缩运动的快照。橙色表示更快的角旋转；青色表示较慢的旋转。循环速度也取决于半径。轨迹显示了向内螺旋和轴向拉伸。

我们是如何找到证明的

自 8 月 28 日以来，我们一直在训练一个新的内部模型，该模型在我们的基准测试中表现出前所未有的性能，包括数学方面。这个模型的训练仍在进行中，其性能还在持续提升。

9 月 1 日星期二，我们听到传言说有两个千禧年奖问题已被解决。受到这些传言以及我们内部模型性能阶跃式提升的启发，我们启动了一项工作，在所有开放的千禧年奖问题和其他一些高影响力问题上评估该模型。

我们使用了一个由内部模型驱动的协调智能体系统。这些智能体可以使用工具，例如读取互联网缓存版本和运行代码。智能体被分成小组，可以在组内进行通信。各组规模不同，产生纳维-斯托克斯解答的小组大约有 10,000 个并发智能体。我们始终保持与所有前沿模型评估相同的严格安全措施，包括监控和隔离。

对于每个问题，我们向不同的智能体小组提示问题的不同变体，覆盖所有问题变体。对于纳维-斯托克斯问题，我们向不同的小组分别提示了版本“A”和“B”（纳维-斯托克斯问题的特定形式，会导致证明）以及版本“C”和“D”（会导致反证）。

除了完整的千禧年奖问题，我们还要求多智能体系统尝试一组“较简单”的问题。其中一个问题是纳维-斯托克斯问题在移除粘性项后的极限情况下的类似爆破问题。这被称为欧拉方程的正则性问题，我们的智能体解决了这个问题，让我们感到惊讶。他们解决的具体变体是无外力版本，即没有外力施加在流体上。近 100 个智能体协同工作了大约 50 小时，得出了我们的欧拉正则性反证。1

当我们看到欧拉解后，我们认为纳维-斯托克斯问题是最有希望攻克的问题。因此，我们决定将资源投入到纳维-斯托克斯问题上。为此，我们将智能体从其他千禧年问题中转移出来，并向这些智能体提示了欧拉的解答。当我们的内部模型在项目过程中推出了进一步训练的版本时，我们将智能体更新到该模型。

我们鼓励不同的智能体小组探索多样化的方法。过了一段时间，我们使用 Codex 整合每个智能体小组最有用的见解，对小组进行交叉融合。这些后续提示利用了智能体自身的中间结果。找到纳维-斯托克斯解的小组就是以这种方式被引导的。

智能体们在 9 月 5 日星期六得出了解答，距离第一批智能体启动大约 88 小时。Lean 形式化和验证又花了 17 小时，由 GPT‑6 Astra 完成。

在所有尝试的问题中，智能体们发送了 490 万条消息，使用了约 3000 亿个输出令牌。在解决纳维-斯托克斯问题的过程中，智能体们发送了 270 万条消息，使用了大约 1300 亿个输出令牌。

同时进行的工作

我们的工作始于 9 月 1 日，当时听到一个传言，后来我们意识到这与 Anthropic 员工 Levent Alpöge 和纽约大学数学教授 Tristan Buckmaster 有关。在我们完成整个项目和 Lean 验证后（9 月 6 日），基于传言认为他们也有纳维-斯托克斯的解，我们联系了他们，提出同时发布我们的结果，并在联合公告中承认他们的优先权。那时我们发现他们解决的是受迫欧拉问题。在这些讨论中，我们让他们看到了我们使用的所有提示，后来又让他们看到了证明。我们承认他们在受迫欧拉问题上的优先权，并祝贺他们取得的卓越数学成就。

我们（研究人员和智能体）在他们公开发布之前，没有通过任何方式看到他们的任何工作——特别是，没有访问任何特定用户数据来解决这个问题。虽然不太可能，但我们不能排除从他们使用我们产品中获得的去标识化数据帮助改进了我们的模型⁠。然而，我们的证明有显著不同，甚至在欧拉问题中，证明的具体结果也是不同的（受迫与不受迫）。

进展与责任

我们发布这一结果的目标是报告我们 AI 模型的实质性进展。我们不打算以此结果申领千禧年奖。

这一里程碑代表了数学家和 AI 研究者的重要工作。然而，这不是终点，而是 AI 发展进程中的一个时间快照。

我们相信我们现在正处于 AI 进步的下一个时期⁠，今天的结果为此提供了进一步的证据。我们正专注于理解这个模型，并利用我们学到的东西来帮助我们引导和把握追求进一步能力提升的节奏。我们的关键目标之一⁠是构建可引导、可问责并与人类相连的 AI 系统，这可能需要在进步节奏上做出更审慎的选择，因为我们继续履行确保 AGI 惠及全人类的使命。

• 2026

• 生成模型

作者

脚注

• 1阅读欧拉证明论文⁠(在新窗口中打开) · Lean 形式化证明链接⁠(在新窗口中打开)

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